5. Confiance sur l'écart-type

La loi normale parente est de moyenne µ et d'écart-type σ. Soit V(X) sa variance, V(X)=σ2

On suppose qu'on réalise des échantillons d'effectif n au sein de cette loi normale parente.

• Comme on l'a vu dans le paragraphe précédent (s)2=Σ(xi-m)2/(n-1) est un estimateur sans biais de V(X)=(σ)2     (ce qui signifie que l'espérance de (s)2 est égale à (σ)2 : E((s)2)=(σ)2)

• L'écart-type expérimental est s=racinecarré[Σ(xi-m)2/(n-1)] (et c'est un estimateur biaisé de σ).

Comme expliqué au paragraphe 3, l'espérance de s n'est pas égale à σ ! Ainsi qui souhaite avoir un estimateur non biaisé de σ à partir de s devrait appliquer un facteur correctif. Le paragraphe 3 donne les facteurs correctifs pour différentes valeurs de n. Plus n est grand plus le facteur correctif tend vers 1.

• Soit un écart-type de population parente estimé à partir de l'écart-type expérimental si d'un échantillon i d'effectif n. On peut (au moins en théorie) obtenir énormément (une infinité !) de valeurs si en multipliant (à l'infini !) les échantillons. On obtiendrait ainsi une population d'écart-types expérimentaux. Cette population aurait une moyenne (l'espérance de l'écart-type expérimental sur un échantillon d'effectif n) et un écart-type (l'écart-type de la population des écart-types expérimentaux). On montre que Espérance des si = c4σ et écart-type des si = ssi = racinecarré(1-c42).

Le NIST, dans engineering statistics, e-Handbook of Statistical Methods, http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/) donne la formule de calcul de c4 :
c4facteur (3K)
Remarque : (n/2)! avec un entier n impair se calcule selon factorielimpairsurdeux (3K)

Voici un tableau donnant les écart-types des écart-types expérimentaux en fonction de la taille n des échantillons et ce sous forme de coefficients de variation.

n

CV de l'écart-type expérimental
calculs d'après formules NIST (*)

CV de l'écart-type expérimental
par simulations informatiques (**)

2

non calculé

 

3

non calculé

vers 55%

4

≈40%

 

5

≈34%

vers 35%

6

≈31%

 

7

≈28%

 

8

≈26%

 

9

≈25%

 

10

≈23%

vers 23%

12

≈21%

 

15

≈19%

 

20

≈16%

vers 16%

30

≈13%

non donné

(*) Sur le site du NIST (engineering statistics, e-Handbook of Statistical Methods, http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/) et en particulier la page http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc32.htm.

(**) D'après un article de J-M POU, "Ecart-type expérimental, quelle formule choisir ?", article disponible à http://www.deltamuconseil.fr/download/Presse/Conference-poster.pdf