4. Intervalle de confiance pour la moyenne, loi de Student
La loi normale parente est de moyenne µ et d'écart-type σ. Soit V(X) sa variance, V(X)=σ2
On suppose qu'on tire des échantillons d'effectif n au sein de cette loi normale parente.
• Le mathématicien Gosset (pseudonyme Student) a étudié le rapport t=|m-µ|/(s/√n)
(où µ est l'espérance de la variable normale X, m la moyenne expérimentale de l'échantillon d'effectif n et s son écart-type expérimental).
t est une variable aléatoire, E(t)=0 et son écart-type dépend de n-1. t est tabulé.
On peut ainsi connaître, à la confiance choisie, les limites de confiance sur la moyenne parente à partir de la moyenne expérimentale obtenue sur un échantillon d'effectif n.
On aura comme limites de confiances :
Dans la formule Linf et Lsup désignent les 2 bornes inférieure et supérieure respectivement et t1-α/2 la valeur de t obtenue dans une table avec n-1 degrés de liberté au risque 1-α/2. On prend un risque bilatéral de valeur α de se tromper. On prend un risque α/2 côté Linf et α/2 côté Lsup de se tromper. Ne pas faire d'erreurs de lecture dans les tables qui doivent être claires concernant leur lecture unilatérale ou bilatérale !
Remarque importante : Quand n>60, t devient quasi identique avec z de la loi normale ! On s'en doutait. Quand n devient grand m et s sont de plus en plus voisins de µ et σ et donc on retrouve les coefficients de la loi normale.
Mais un exemple pratique éclairera tout !
Soit n=20, m=0,1050 et s=0,0040
Au risque α=0,05 (5%), pour n-1=19 une table de t donnera t1-α/2=t0,975=2,09
les 2 limites sont 0,105+2,09*(0,0040/√20)=0,1068 et 0,105-2,09*(0,0040/√20)=0,1031
Il y a 5 chances sur 100 de se tromper en affirmant que la moyenne parente µ est comprise entre 0,1068 et 0,1031.
On dit aussi : l'intervalle de confiance à p=0,95 de la moyenne parente est [0,1031 ; 0,1068]